Наилучшее приближение потенциалов плоскопараллельного поля на множестве фундаментальных решений

Аннотация

Рассмотрена задача построения элемента наилучшего приближения потенциалов электрического или магнитного плоскопараллельного полей на множестве заданных параметрически фундаментальных решений уравнения Лапласа в ограниченной области. Предполагается, что на границе области потенциалы удовлетворяют граничному условию Дирихле или смешанному краевому условию. Элемент наилучшего приближения ищется в виде линейной комбинации фундаментальных решений, особые точки которых расположены вне расчетной области. Задача сводится к нахождению условного минимума функции невязки, характеризующей погрешность приближения потенциала на множестве фундаментальных решений. Показано, что для решения задачи оптимизации может быть использован градиентный метод спуска. В качестве варьируемых переменных при минимизации невязки используются координаты особых точек базисных фундаментальных решений и координаты образованной ими линейной комбинации. Предложен численный алгоритм поиска элемента наилучшего приближения, реализация которого не требует варьирования координат особых точек. Приводятся результаты решения тестовых задач, подтверждающие возможность приближения потенциала плоскопараллельного поля на множестве фундаментальных решений с высокой точностью даже при небольшом числе базисных функций.