Решение нелинейных задач математической физики методом коллокаций

Аннотация

Разработан метод коллокаций для численного решения нелинейных краевых задач математической физики. Особенностью тестируемого численного метода, метода полных коллокаций, является нерегулярное расположение узлов коллокации в области решения задачи, что позволяет резко повысить точность численного решения за счет улучшения качества системы линейных алгебраических уравнений, к которой приводит решаемая краевая задача. Используются различные системы базисных функций. Численное решение представляется в виде полинома, тригонометрического ряда, ряда локальных базисных функций. Предложенный метод позволяет получить приближенное решение краевых задач для широкого круга линейных и нелинейных эллиптических, параболических и волновых уравнений в аналитическом виде. Для подтверждения эффективности исследуемого численного метода решались двумерные и трехмерные краевые задачи для линейных и нелинейных уравнений эллиптического и параболического типов. Получены зависимости погрешности численного решения от числа линейных уравнений в результирующей системе. Показано, что даже при небольшом числе уравнений в системе достигается точность решения, превышающая точность, полученную альтернативными численными методами. Исследуемый численный метод позволяет резко расширить область применения традиционных численных методов при решении прикладных задач по моделированию полей различной физической природы, описываемых линейными и нелинейными уравнениями эллиптического и параболического типов. Полученные в данной работе результаты показывают высокие потенциальные возможности метода полной коллокации, которые основаны на универсальности метода и высокой точности численных решений. Эти качества свидетельствуют о перспективности использования метода при решении широкого круга прикладных задач.